実数 $a$ を定数とする。方程式 $x^3e^{-3x} - ax^2e^{-2x} - xe^{-x} + 1 = 0$ がちょうど3個の実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ を用いて良い。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。方程式 $x^3e^{-3x} - ax^2e^{-2x} - xe^{-x} + 1 = 0$ がちょうど3個の実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ を用いて良い。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$x^3e^{-3x} - ax^2e^{-2x} - xe^{-x} + 1 = 0$ を変形して、

$ax^2e^{-2x} = x^3e^{-3x} - xe^{-x} + 1$

$a = \frac{x^3e^{-3x} - xe^{-x} + 1}{x^2e^{-2x}} = \frac{x^3e^{-3x}}{x^2e^{-2x}} - \frac{xe^{-x}}{x^2e^{-2x}} + \frac{1}{x^2e^{-2x}}$

$a = xe^{-x} - \frac{e^x}{x} + e^{2x}\frac{1}{x^2}$

ここで、$f(x) = xe^{-x} - \frac{e^x}{x} + e^{2x}\frac{1}{x^2}$ とおきます。

$f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の数が3つになるような $a$ の範囲を求めます。

$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} - \frac{xe^x - e^x}{x^2} + \frac{2x^2e^{2x} - 2xe^{2x}}{x^4}$

$= e^{-x} - xe^{-x} - \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + \frac{2e^{2x}}{x^2} - \frac{2e^{2x}}{x^3}$

$= e^{-x}(1-x) - e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) + \frac{2e^{2x}}{x^2}(1-\frac{1}{x})$

この関数 $f(x)$ の増減を調べるのは困難です。しかし、$x>0$とすると、$x \to +0$のとき、$xe^{-x} \to 0$, $-\frac{e^x}{x} \to -\infty$，$e^{2x}\frac{1}{x^2} \to \infty$であるため、$f(x)$は$\infty$に発散することがわかります。$x \to \infty$のとき、$xe^{-x} \to 0$, $-\frac{e^x}{x} \to -\infty$，$e^{2x}\frac{1}{x^2} \to \infty$となります。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} ( xe^{-x} - \frac{e^x}{x} + e^{2x} \frac{1}{x^2} ) = \lim_{x \to \infty} e^{2x} (\frac{1}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x} + xe^{-3x}) = \infty$

$x>0$でのみ考える。$x\to +0$で$f(x) \to \infty$，$x \to \infty$で$f(x) \to \infty$となるため、極小値を少なくとも1つは持つことがわかる。もし極小値が1つであり、極大値を持たないならば、実数解は1つである。3個の実数解を持つには、極大値と極小値を持つ必要があり、$f(x)$が$y=a$と3点で交わるような$a$の範囲を求める。

$f(1) = e^{-1} - e + e^2 = \frac{1}{e} - e + e^2$

もし$a>\frac{1}{e} - e + e^2$ならば、実数解は1つ。

$g(x) = x^3e^{-3x} - xe^{-x} + 1$

$h(x) = x^2e^{-2x}$

とする。$g(x)$と$h(x)$のグラフを書く。

3. 最終的な答え

$a$ の値の範囲を求めることは難しいです。

問題文に誤りがある可能性があります。

与えられた方程式を$ax^2 e^{-2x} = x^3 e^{-3x} - xe^{-x} + 1$と変形し、$x > 0$の範囲で$a = \frac{x^3 e^{-3x} - xe^{-x} + 1}{x^2 e^{-2x}}$となる$f(x)$を定義し、$f(x)$のグラフと$y = a$との交点が3つになる$a$の範囲を求めれば良いのですが、厳密解を求めるのは困難です。