関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

$f(x) = x(e^x - 4e^{-x}) < 0$

まず、$f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(e^x - 4e^{-x}) = 0$

$x = 0$ または $e^x - 4e^{-x} = 0$

$e^x = 4e^{-x}$

$e^{2x} = 4$

$2x = \ln 4 = 2\ln 2$

$x = \ln 2$

したがって、$f(x) = 0$ となるのは $x=0$ と $x=\ln 2$ のときです。

$x$ の範囲を $(-\infty, 0), (0, \ln 2), (\ln 2, \infty)$ に分けて、$f(x)$ の符号を調べます。

* $x < 0$ のとき: $x < 0$ であり、$e^x < 4e^{-x}$ となるような $x$ が存在します。たとえば、$x = -\ln 3$ のとき、$e^{-\ln 3} = 1/3$ であり、$4e^{\ln 3} = 12$ なので、$1/3 < 12$ となり、$f(x) > 0$ です。

* $0 < x < \ln 2$ のとき: $x > 0$ であり、$e^x < 4e^{-x}$ です。例えば、$x = \ln(1.5)$とすると、$e^{\ln(1.5)} = 1.5$で、$4e^{-\ln(1.5)} = 4/(1.5) \approx 2.66 > 1.5$　なので$e^x - 4e^{-x} < 0$です。したがって、$f(x) < 0$ です。

* $x > \ln 2$ のとき: $x > 0$ であり、$e^x > 4e^{-x}$ です。例えば、$x = \ln 3$ とすると、$e^{\ln 3} = 3$で、$4e^{-\ln 3} = 4/3 < 3$　なので、$e^x - 4e^{-x} > 0$です。したがって、$f(x) > 0$ です。

以上より、$f(x) < 0$ となるのは $0 < x < \ln 2$ のときです。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

$x$ 軸との交点は $x=0$ と $x=\ln 2$ です。$0 < x < \ln 2$ では $f(x) < 0$ なので、求める面積 $S$ は、

$S = -\int_0^{\ln 2} x(e^x - 4e^{-x}) dx = -\int_0^{\ln 2} (xe^x - 4xe^{-x}) dx$

部分積分を用います。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

したがって、

$S = -\left[ xe^x - e^x + 4(xe^{-x} + e^{-x}) \right]_0^{\ln 2}$

$S = -\left[ (\ln 2)e^{\ln 2} - e^{\ln 2} + 4((\ln 2)e^{-\ln 2} + e^{-\ln 2}) - (0 - 1 + 4(0 + 1)) \right]$

$S = -\left[ 2\ln 2 - 2 + 4\left( \frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{2} \right) - 3 \right]$

$S = -\left[ 2\ln 2 - 2 + 2\ln 2 + 2 - 3 \right]$

$S = -[4\ln 2 - 3] = 3 - 4\ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < \ln 2$

(2) $3 - 4\ln 2$