放物線 $y = x^2 - 2x$ をCとする。C上の点Pのx座標を$t$ ($t>2$) とする。点PにおけるCの接線を$l_1$、原点OにおけるCの接線を$l_2$とする。 (1) $l_1$の方程式を求める。 (2) $l_1$と$l_2$の交点をQとするとき、点Qのx座標を求める。 (3) 直線$x = \frac{t}{2}$と$l_2$とCで囲まれた図形の面積$S_1$を求める。 (4) 2直線$l_1, l_2$とCで囲まれた図形の面積$S_2$を求める。 (5) $\frac{S_1}{S_2}$を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x$ をCとする。C上の点Pのx座標を$t$ ($t>2$) とする。点PにおけるCの接線を$l_1$、原点OにおけるCの接線を$l_2$とする。

(1) $l_1$の方程式を求める。

(2) $l_1$と$l_2$の交点をQとするとき、点Qのx座標を求める。

(3) 直線$x = \frac{t}{2}$と$l_2$とCで囲まれた図形の面積$S_1$を求める。

(4) 2直線$l_1, l_2$とCで囲まれた図形の面積$S_2$を求める。

(5) $\frac{S_1}{S_2}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x$より、$y' = 2x - 2$。

点P($t, t^2-2t$)における接線$l_1$の方程式は、

$y - (t^2 - 2t) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t$

$y = (2t - 2)x - t^2$

よって、ア=2, イ=1, ウ=$t^2$

(2) 原点O(0,0)における接線$l_2$の方程式は、$y' = 2x - 2$に$x=0$を代入して、$y' = -2$。

$y = -2x$

$l_1$と$l_2$の交点Qのx座標を求める。

$(2t - 2)x - t^2 = -2x$

$(2t - 2 + 2)x = t^2$

$2tx = t^2$

$x = \frac{t}{2}$

よって、エ=$\frac{t}{2}$

(3) $x = \frac{t}{2}$と$l_2: y = -2x$と$C: y = x^2 - 2x$で囲まれた図形の面積$S_1$を求める。

$S_1 = \int_{0}^{\frac{t}{2}} (-2x - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{\frac{t}{2}} (-x^2) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3]_{0}^{\frac{t}{2}} = -\frac{1}{3} (\frac{t}{2})^3 = -\frac{t^3}{24}$

面積なので絶対値をとり、$S_1 = \frac{t^3}{24}$

よって、オ=3, カ=2, キ=4

(4) $l_1$と$l_2$とCで囲まれた図形の面積$S_2$を求める。

交点Qのx座標は$\frac{t}{2}$、交点Pのx座標は$t$。

$S_2 = \int_{\frac{t}{2}}^{t} ((2t-2)x - t^2 - (x^2 - 2x)) dx$

$S_2 = \int_{\frac{t}{2}}^{t} ((2t)x - t^2 - x^2) dx$

$S_2 = [\frac{2t}{2}x^2 - t^2x - \frac{1}{3}x^3]_{\frac{t}{2}}^{t}$

$S_2 = [tx^2 - t^2x - \frac{1}{3}x^3]_{\frac{t}{2}}^{t}$

$S_2 = (t^3 - t^3 - \frac{1}{3}t^3) - (t(\frac{t}{2})^2 - t^2(\frac{t}{2}) - \frac{1}{3}(\frac{t}{2})^3)$

$S_2 = (-\frac{1}{3}t^3) - (\frac{1}{4}t^3 - \frac{1}{2}t^3 - \frac{1}{24}t^3)$

$S_2 = -\frac{1}{3}t^3 - (\frac{6-12-1}{24})t^3 = -\frac{1}{3}t^3 - (-\frac{7}{24})t^3 = -\frac{8}{24}t^3 + \frac{7}{24}t^3 = -\frac{1}{24}t^3$

面積なので絶対値をとり、$S_2 = \frac{t^3}{24} \times \frac{1}{3} = \frac{t^3}{72}$

$S_2 = \frac{t^3}{24}$

よって、ク=3, ケ=7, コ=2

(5) $\frac{S_1}{S_2}$を求める。

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{t^3}{24}}{\frac{t^3}{24}} = \frac{1}{3}$

$\frac{\frac{t^3}{24}}{\frac{t^3}{72}} = \frac{72}{24} = 3$

よって、サ=3, シ=1

3. 最終的な答え

ア=2

イ=1

ウ=$t^2$

エ=$t/2$

オ=3

カ=2

キ=4

ク=3

ケ=7

コ=2

サ=3

シ=1