関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 + 4x\int_{-1}^0 f(t) dt - 2\int_1^3 f(t) dt$ を満たすとき、$a = \int_{-1}^0 f(t) dt$、 $b = \int_1^3 f(t) dt$ とおく。このとき、定数 $a$, $b$ の値を求め、$f(x)$ を決定し、$\int_0^3 |f(x)| dx$ を計算する。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 + 4x\int_{-1}^0 f(t) dt - 2\int_1^3 f(t) dt$ を満たすとき、$a = \int_{-1}^0 f(t) dt$、 $b = \int_1^3 f(t) dt$ とおく。このとき、定数 $a$, $b$ の値を求め、$f(x)$ を決定し、$\int_0^3 |f(x)| dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を $a$ と $b$ を用いて表すと、

$f(x) = 3x^2 + 4ax - 2b$

となる。

次に、$a$ と $b$ の関係式を求める。

$a = \int_{-1}^0 f(t) dt = \int_{-1}^0 (3t^2 + 4at - 2b) dt = [t^3 + 2at^2 - 2bt]_{-1}^0 = 0 - (-1 + 2a + 2b) = 1 - 2a - 2b$

よって、

$3a + 2b = 1$

$b = \int_1^3 f(t) dt = \int_1^3 (3t^2 + 4at - 2b) dt = [t^3 + 2at^2 - 2bt]_1^3 = (27 + 18a - 6b) - (1 + 2a - 2b) = 26 + 16a - 4b$

よって、

$16a - 5b = -26$

連立方程式

$3a + 2b = 1$

$16a - 5b = -26$

を解く。

1つ目の式を5倍、2つ目の式を2倍すると、

$15a + 10b = 5$

$32a - 10b = -52$

両式を足すと、$47a = -47$ より $a = -1$。

$3(-1) + 2b = 1$ より $2b = 4$ なので、$b = 2$。

したがって、$f(x) = 3x^2 + 4(-1)x - 2(2) = 3x^2 - 4x - 4$

$f(x) = (3x+2)(x-2)$ より、$f(x) = 0$ となるのは、$x = 2, -\frac{2}{3}$。

$x \in [0, 3]$ で考えるので、$f(x)$ は $x=2$ で符号が変わる。

$\int_0^3 |f(x)| dx = \int_0^2 -f(x) dx + \int_2^3 f(x) dx$

$\int_0^2 -(3x^2 - 4x - 4) dx = \int_0^2 (-3x^2 + 4x + 4) dx = [-x^3 + 2x^2 + 4x]_0^2 = -8 + 8 + 8 = 8$

$\int_2^3 (3x^2 - 4x - 4) dx = [x^3 - 2x^2 - 4x]_2^3 = (27 - 18 - 12) - (8 - 8 - 8) = -3 + 8 = 5$

$\int_0^3 |f(x)| dx = 8 + 5 = 13$

3. 最終的な答え

$3a+2b = 1$

$16a-5b = -26$

$f(x)=3x^2-4x-4$

$\int_0^3 |f(x)| dx=13$