関数 $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$

$f''(x) = \frac{-4x(x^2+1)^2 - (-2x^2+2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-4x(x^2+1)^2 + 4x(x^2-1)(2)(x^2+1)}{(x^2+1)^4}$

$= \frac{-4x(x^2+1) + 8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3} = \frac{-4x^3-4x + 8x^3 - 8x}{(x^2+1)^3} = \frac{4x^3-12x}{(x^2+1)^3} = \frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} = \frac{4x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{(x^2+1)^3}$

$f'(x)=0$ となるのは $x=\pm 1$ のとき。

$f''(x)=0$ となるのは $x=0, \pm \sqrt{3}$ のとき。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -√3 | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... | √3 | ... |

| ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------ | ------- | ------ | ------- |

| f'(x) | - | | - | 0 | + | | + | 0 | - | | - |

| f''(x) | - | 0 | + | | + | 0 | - | | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | -√3/2 | ↗ | -1 | ↗ | 0 | ↘ | 1 | ↘ | √3/2 | ↘ |

$f(-1)=-1$, $f(1)=1$, $f(-\sqrt{3}) = \frac{-2\sqrt{3}}{3+1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{3+1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $f(0) = 0$

極大値: $f(1)=1$ ($x=1$)

極小値: $f(-1)=-1$ ($x=-1$)

変曲点: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(2)

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$

漸近線は $y=0$

グラフの概形は省略（増減表と極値、変曲点、漸近線を考慮して描画）

3. 最終的な答え

極大値: $f(1)=1$ ($x=1$)

極小値: $f(-1)=-1$ ($x=-1$)

変曲点: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$