座標平面上の曲線 $y = x^3 + x^2 - 2x$ を $C$ とする。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸の交点の座標を求める。 (2) (1) で求めた点における曲線 $C$ の接線の方程式を求める。また、この接線と曲線 $C$ の接点以外の共有点の $x$ 座標を求める。 (3) 曲線 $C$ と接線で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $y = x^3 + x^2 - 2x$ を $C$ とする。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸の交点の座標を求める。

(2) (1) で求めた点における曲線 $C$ の接線の方程式を求める。また、この接線と曲線 $C$ の接点以外の共有点の $x$ 座標を求める。

(3) 曲線 $C$ と接線で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸の交点は $y=0$ となる点である。

$y = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1) = 0$

よって、$x = -2, 0, 1$ である。

したがって、交点の座標は $(-2, 0), (0, 0), (1, 0)$ である。

ただし、$ウ < エ$ より、ウは 0, エは 1 である。

(2) $x=1$ における接線を求める。

$y' = 3x^2 + 2x - 2$

$x=1$ のとき $y' = 3(1)^2 + 2(1) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3$

接線の方程式は、$y - 0 = 3(x - 1)$ より $y = 3x - 3$

$3x - 3 = x^3 + x^2 - 2x$ を解く。

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$

$(x-1)^2(x+3) = 0$

よって、$x=1, -3$

接点以外の共有点の $x$ 座標は $-3$ である。

(3) 曲線 $C$ と接線 $y = 3x - 3$ で囲まれた図形の面積は、

$\int_{-3}^1 |(x^3 + x^2 - 2x) - (3x - 3)| dx = \int_{-3}^1 |x^3 + x^2 - 5x + 3| dx$

$= \int_{-3}^1 (x-1)^2(x+3) dx = \int_{-3}^1 (x^2 - 2x + 1)(x+3) dx$

$= \int_{-3}^1 (x^3 + x^2 - 5x + 3) dx = [\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x]_{-3}^1$

$= (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 3) - (\frac{81}{4} - \frac{27}{3} - \frac{45}{2} - 9) = (\frac{3+4-30+36}{12}) - (\frac{81-36-90-36}{4})$

$= \frac{13}{12} - \frac{-81}{4} = \frac{13}{12} + \frac{243}{12} = \frac{256}{12} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

アイ: -2

ウ: 0

エ: 1

オ: 3

カ: 3

キク: -3

ケコ/サ: 64/3