問題５の(1)(2)(3)を解きます。 (1) $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ を求めます。 (2) $e^x$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $e^{0.1}$ の近似値を求めます（2次までの項で打ち切る）。 (3) 元本100万円、年利10%の連続複利を考える。期間 $\frac{1}{n}$ 年毎に利率 $\frac{10}{n}\%$で金利を受け取るとすると、1年後の元利合計 (元本と利息の合計)の $n \to \infty$ とした極限を求めます。

1. 問題の内容

問題５の(1)(2)(3)を解きます。

(1) $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ を求めます。

(2) $e^x$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $e^{0.1}$ の近似値を求めます（2次までの項で打ち切る）。

(3) 元本100万円、年利10%の連続複利を考える。期間 $\frac{1}{n}$ 年毎に利率 $\frac{10}{n}\%$で金利を受け取るとすると、1年後の元利合計 (元本と利息の合計)の $n \to \infty$ とした極限を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ は指数関数の定義として知られています。

(2)

$e^x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{0.1}$ の近似値を求めるために、2次までの項で打ち切ります。

$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^2}{2} = 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$

(3)

元本を $P$ とし、年利率を $r$ とすると、$\frac{1}{n}$ 年毎に $\frac{r}{n}$ の利率を受け取る場合、1年後の元利合計は以下の式で表されます。

$P(1 + \frac{r}{n})^n$

$n \to \infty$ の極限を考えると、これは連続複利の式となります。

$\lim_{n\to\infty} P(1 + \frac{r}{n})^n = P e^r$

この問題では、$P = 100$万円、$r = 0.1$ なので、

$\lim_{n\to\infty} 100(1 + \frac{0.1}{n})^n = 100 e^{0.1}$

$e^{0.1} \approx 1.105$ (上記で計算済み) を使うと、$100 e^{0.1} \approx 100 \times 1.105 = 110.5$ 万円となります。

3. 最終的な答え

(1) $e^x$

(2) $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ , $e^{0.1} \approx 1.105$

(3) およそ110.5万円