与えられた文章の空欄を埋める問題と、関数の連続性を調べる問題、および中間値の定理に関連する証明問題が出されています。

1. 問題の内容

与えられた文章の空欄を埋める問題と、関数の連続性を調べる問題、および中間値の定理に関連する証明問題が出されています。

2. 解き方の手順

問題１

(1) 関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ を満たすことをいいます。また、$f(x)$ が定義域内のある区間 $I$ 上で連続であるとは、$f(x)$ がすべての $x \in I$ で連続であることです。

(2) 多項式関数、指数関数、$\sin$ や $\cos$ は $\mathbb{R}$ 上で連続です。無理関数は根号の中身が負でない区間で連続で、対数関数は真数（対数の中身）が正である区間で連続です。

(3) $f(x) = e^{-x^2}$ は、$g(x) = e^x$ と $h(x) = -x^2$ の合成関数です。

問題２

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$ の連続性を調べます。

$x \neq 0$ では、$\sin x$ と $x$ は連続であり、$x \neq 0$ なので $\frac{\sin x}{x}$ も連続です。

$x = 0$ での連続性を調べるために、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$f(0) = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で連続です。

以上より、$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で連続です。

問題３

(1) $a < b$ とし、関数 $f(x)$ が有界閉区間 $[a, b]$ 上で連続であるとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $\alpha$ に対し、$f(\xi) = \alpha$ を満たす $\xi \in (a, b)$ が存在します。

(2) $f(x) = x^4 - 3$ とします。$f(x)$ は連続関数です。

$f(0) = -3 < 0$ であり、$f(2) = 2^4 - 3 = 16 - 3 = 13 > 0$ です。

中間値の定理より、$f(\xi) = 0$ となる $\xi \in (0, 2)$ が存在します。すなわち、$\xi^4 - 3 = 0$ となる $\xi$ が存在します。$\xi^4 = 3$ より、$\xi = \sqrt[4]{3}$ です。

次に、$\sqrt[4]{3}$ が一意に存在することを示します。$f(x) = x^4 - 3$ の導関数は $f'(x) = 4x^3$ です。$x > 0$ において $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加です。したがって、$f(x) = 0$ となる $x$ はただ一つ存在します。よって、$\sqrt[4]{3}$ は一意に存在します。

3. 最終的な答え

問題１

(1) $\lim_{x \to a} f(x)$, $I$

(2) $\mathbb{R}$, 真数

(3) $e^x$, $-x^2$

問題２

$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である。

問題３

(1) 連続, $f(\xi) = \alpha$

(2) 証明は上記参照。