次の関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描け。 (1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ (2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$

1. 問題の内容

次の関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描け。

(1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$

(2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ について

まず、$y'$ と $y''$ を求める。

$y' = \frac{3}{4}x^2 - 3$

$y'' = \frac{3}{2}x$

次に、$y'=0$ となる $x$ を求める。

$\frac{3}{4}x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、$y''=0$ となる $x$ を求める。

$\frac{3}{2}x = 0$

$x = 0$

増減表を作成する。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|------|-----|------|-----|------|-----|------|-----|

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↗凹 | 極大 | ↘凹 | 変曲 | ↘凸 | 極小 | ↗凸 |

$x = -2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(-8) - 3(-2) = -2 + 6 = 4$

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8) - 3(2) = 2 - 6 = -4$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

よって、極大値は $4$ ($x=-2$)、極小値は $-4$ ($x=2$)、変曲点は $(0, 0)$。

(2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$ について

まず、$y'$ と $y''$ を求める。

$y' = x^3 - 3x$

$y'' = 3x^2 - 3$

次に、$y'=0$ となる $x$ を求める。

$x^3 - 3x = 0$

$x(x^2 - 3) = 0$

$x = 0, \pm \sqrt{3}$

次に、$y''=0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

増減表を作成する。

| x | ... | $-\sqrt{3}$ | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... | $\sqrt{3}$ | ... |

|------|------|--------------|------|-----|------|-----|------|----|------|--------------|------|

| y' | - | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↘凸 | 極小 | ↗凸 | 変曲 | ↗凹 | 極大 | ↘凹 | 変曲 | ↘凸 | 極小 | ↗凸 |

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{1}{4}(9) - \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}$

$x = \sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{1}{4}(9) - \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = -1$ のとき、$y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}$

よって、極小値は $-\frac{9}{4}$ ($x = \pm \sqrt{3}$)、極大値は $0$ ($x=0$)、変曲点は $(-1, -\frac{5}{4})$ と $(1, -\frac{5}{4})$。

3. 最終的な答え

(1)

極大値: 4 ($x=-2$)

極小値: -4 ($x=2$)

変曲点: (0, 0)

(2)

極小値: $-\frac{9}{4}$ ($x = \pm \sqrt{3}$)

極大値: 0 ($x=0$)

変曲点: $(-1, -\frac{5}{4})$, $(1, -\frac{5}{4})$