関数 $f(x) = \frac{\log x^2}{x}$ (ただし、$x > 0$で、対数は自然対数) について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の最大値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点をPとする。点Pにおける接線がx軸と交わる点をQ(q, 0)とするとき、$q$ の値を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$、線分PQ、および直線 $x = q$ で囲まれる部分の面積Sを $\log 2$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x^2}{x}$ (ただし、$x > 0$で、対数は自然対数) について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の最大値を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点をPとする。点Pにおける接線がx軸と交わる点をQ(q, 0)とするとき、$q$ の値を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$、線分PQ、および直線 $x = q$ で囲まれる部分の面積Sを $\log 2$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最大値を求める。

まず、$f(x)$ を簡単にする。$\log x^2 = 2 \log x$ より、

$f(x) = \frac{2 \log x}{x}$

$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{2(\frac{1}{x})x - 2 \log x}{x^2} = \frac{2 - 2 \log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \log x = 0$ より、$\log x = 1$。したがって、$x = e$。

$x < e$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > e$ のとき $f'(x) < 0$ であるから、$x = e$ で $f(x)$ は最大値をとる。

$f(e) = \frac{2 \log e}{e} = \frac{2}{e}$

(2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点をPとする。点Pにおける接線がx軸と交わる点をQ(q, 0)とするとき、$q$ の値を求める。

$f''(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{2 - 2 \log x}{x^2}$

$f''(x) = \frac{(-2/x)x^2 - (2 - 2 \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-2x - 4x + 4x \log x}{x^4} = \frac{-6x + 4x \log x}{x^4} = \frac{-6 + 4 \log x}{x^3}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-6 + 4 \log x = 0$ より、$4 \log x = 6$。したがって、$\log x = \frac{3}{2}$。$x = e^{\frac{3}{2}}$。

$x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき $f''(x) < 0$ であり、$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき $f''(x) > 0$ であるから、$x = e^{\frac{3}{2}}$ は変曲点のx座標である。

変曲点Pの座標は $(e^{\frac{3}{2}}, f(e^{\frac{3}{2}}))$。

$f(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{2 \log e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

したがって、Pの座標は $(e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}})$

Pにおける接線の傾きは、$f'(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{2(1 - \log e^{\frac{3}{2}})}{(e^{\frac{3}{2}})^2} = \frac{2(1 - \frac{3}{2})}{e^3} = \frac{2(-\frac{1}{2})}{e^3} = -\frac{1}{e^3}$

Pにおける接線の方程式は、

$y - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{e^3}(x - e^{\frac{3}{2}})$

$y = -\frac{1}{e^3}x + \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{e^3}x + \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

この直線がx軸と交わる点Qのx座標は、$y = 0$ とおいて、

$0 = -\frac{1}{e^3}x + \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{1}{e^3}x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

$x = 4e^{\frac{3}{2}}$

したがって、$q = 4e^{\frac{3}{2}}$

(3) 曲線 $y = f(x)$、線分PQ、および直線 $x = q$ で囲まれる部分の面積Sを $\log 2$ を用いて表す。

線分PQの方程式は $y = -\frac{1}{e^3}x + \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

$S = \int_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 \log x}{x} - (-\frac{1}{e^3}x + \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})) dx$

$S = \int_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} \frac{2 \log x}{x} dx + \int_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{e^3}x dx - \int_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} dx$

$S = \int_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} 2 \log x d(\log x) + \frac{1}{e^3}[\frac{x^2}{2}]_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}[x]_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}}$

$S = [\log^2 x]_{e^{\frac{3}{2}}}^{4e^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2e^3}(16e^3 - e^3) - \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}(4e^{\frac{3}{2}} - e^{\frac{3}{2}})$

$S = (\log (4e^{\frac{3}{2}}))^2 - (\log e^{\frac{3}{2}})^2 + \frac{1}{2e^3}(15e^3) - \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}(3e^{\frac{3}{2}})$

$S = (\log 4 + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + \frac{15}{2} - 12$

$S = (\log 4)^2 + 3 \log 4 + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + \frac{15}{2} - \frac{24}{2} = (2 \log 2)^2 + 3(2 \log 2) - \frac{9}{2} = 4 (\log 2)^2 + 6 \log 2 - \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{2}{e}$

(2) $q = 4e^{\frac{3}{2}}$

(3) $S = 4(\log 2)^2 + 6 \log 2 - \frac{9}{2}$