関数 $f(x) = x^2 \cos(\frac{1}{x})$ の $x=0$ における微分可能性を調べる（または微分係数を求める）問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \cos(\frac{1}{x})$ の $x=0$ における微分可能性を調べる（または微分係数を求める）問題です。

2. 解き方の手順

$x=0$ における微分可能性を調べるには、微分係数の定義に基づいて計算します。すなわち、

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$

を計算します。

まず、$f(0)$ を定義する必要があります。$f(x) = x^2 \cos(\frac{1}{x})$ ですから、$x=0$ では定義されていません。しかし、$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0$ であるので、$f(0) = 0$ と定義するのが自然です（$f(x)$が連続になるように）。

実際、$|\cos(\frac{1}{x})| \le 1$ なので、

$$|x^2 \cos(\frac{1}{x})| \le |x^2|$$

であり、$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるから、挟み撃ちの原理により

$$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0$$

となります。よって、$f(0)=0$と定義します。

次に、$f'(0)$ を計算します。

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos(\frac{1}{h})$$

ここで、再び $|\cos(\frac{1}{h})| \le 1$ なので、

$$|h \cos(\frac{1}{h})| \le |h|$$

であり、$\lim_{h \to 0} h = 0$ であるから、挟み撃ちの原理により

$$\lim_{h \to 0} h \cos(\frac{1}{h}) = 0$$

したがって、$f'(0) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$f'(0) = 0$