与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が1より小さい、つまり $|r| < 1$ であることです。

この級数の公比は $r = -\frac{x-1}{3}$ です。

したがって、収束条件は $|-\frac{x-1}{3}| < 1$ となります。

絶対値記号を外すと、$-1 < -\frac{x-1}{3} < 1$ となります。

各辺に $-3$ を掛けると、$3 > x-1 > -3$ となります。

これは $-3 < x-1 < 3$ と同じです。

各辺に $1$ を加えると、$-3+1 < x < 3+1$ となり、$-2 < x < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$