無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を変形して、等比級数の形にします。

まず、級数の一般項を整理します。

$\frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n} = \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}} = \frac{2 \cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}} = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

したがって、与えられた無限級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

と書けます。

これは、初項が $2$ で公比が $\frac{2}{3}$ の等比級数です。

等比級数の和の公式は、

$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}$

です。ただし、$|r|<1$ である必要があります。

今回の場合は、$a=2$ 、 $r=\frac{2}{3}$ であり、$|\frac{2}{3}|<1$ を満たしているので、公式を適用できます。

$\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} = \frac{2}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 3 = 6$

3. 最終的な答え

6