実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項が $x$、公比が $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比数列の和である。

したがって、この無限級数が収束するための条件は、

$\left|\frac{1}{1+x-x^2}\right| < 1$

である。

この不等式は、

$|1+x-x^2| > 1$

と同値である。

まず、$1+x-x^2 > 1$ のとき、

$x-x^2 > 0$

$x(1-x) > 0$

$0 < x < 1$

次に、$1+x-x^2 < -1$ のとき、

$x-x^2 < -2$

$x^2 - x - 2 > 0$

$(x-2)(x+1) > 0$

$x < -1$ または $x > 2$

よって、無限級数が収束するための条件は、$x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$ である。

このとき、無限級数の和は

$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots = \frac{x}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$

ただし、$x \neq 0$ であり、$x \neq 1$ である。

$x=0$のときは、級数の各項が0になるため、和は0である。また、$x\neq0$と$x\neq1$は上記求めた$x$の範囲に含まれている。

したがって、収束する範囲は $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$ であり、このときの和は、$x=0$の時は0、それ以外の時は $\frac{1+x-x^2}{1-x}$である。

3. 最終的な答え

収束する $x$ の範囲は $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$ である。

このとき、無限級数の和は

$x=0$ のとき、$0$

$x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$ かつ $x \neq 0$ のとき、$\frac{1+x-x^2}{1-x}$