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無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求める。

解析学無限級数等比級数収束和
2025/7/14

1. 問題の内容

無限等比級数 ∑n=1∞3(12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1} の和を求める。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式を使う。
初項を aa、公比を rr とすると、無限等比級数の和 SS は ∣r∣<1|r| < 1 のとき、
S=a1−rS = \frac{a}{1-r}
で表される。
今回の問題では、
a=3(12)1−1=3(12)0=3×1=3a = 3(\frac{1}{2})^{1-1} = 3(\frac{1}{2})^{0} = 3 \times 1 = 3
r=12r = \frac{1}{2}
である。
∣12∣<1|\frac{1}{2}| < 1 なので、無限等比級数は収束し、上記の公式が使える。
したがって、
S=31−12=312=3×2=6S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6

3. 最終的な答え

6

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