以下の積分を部分積分法を用いて求めます。 (1) $\int 2x \cos x \, dx$ (2) $\int 2x e^{2x} \, dx$ (3) $\int x^2 \log x \, dx$

1. 問題の内容

以下の積分を部分積分法を用いて求めます。

(1) $\int 2x \cos x \, dx$

(2) $\int 2x e^{2x} \, dx$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x \cos x \, dx$

$u=2x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du=2 \, dx$, $v = \sin x$。部分積分法より、

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C$

(2) $\int 2x e^{2x} \, dx$

$u=2x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du=2 \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$。部分積分法より、

$\int 2x e^{2x} \, dx = 2x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = x e^{2x} - \int e^{2x} \, dx = xe^{2x} - \frac{1}{2} e^{2x} + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{3} x^3$。部分積分法より、

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} x^3 \, dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^3 + C = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C$

(2) $\int 2x e^{2x} \, dx = xe^{2x} - \frac{1}{2} e^{2x} + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C$