問題5 (1) では、任意の実数 $x$ に対して、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ の極限値を求める問題です。 問題5 (2) では、$e^x$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $e^{0.1}$ の近似値を $x$ の2次までの項を用いて求めます。 問題5 (3) では、元本100万円、年利10%の連続複利の場合に、1年後の元利合計が $n \to \infty$ のときにいくらになるか求める問題です。

1. 問題の内容

問題5 (1) では、任意の実数 $x$ に対して、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ の極限値を求める問題です。

問題5 (2) では、$e^x$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $e^{0.1}$ の近似値を $x$ の2次までの項を用いて求めます。

問題5 (3) では、元本100万円、年利10%の連続複利の場合に、1年後の元利合計が $n \to \infty$ のときにいくらになるか求める問題です。

2. 解き方の手順

問題5 (1)

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$

問題5 (2)

$e^x$ のマクローリン展開は、以下のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$x$ の2次までの項で打ち切ると、$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^2}{2} = 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} = 1.1 + 0.005 = 1.105$

問題5 (3)

元本を $P$、年利率を $r$ とすると、連続複利の場合の $t$ 年後の元利合計 $A$ は以下の式で表されます。

$A = P e^{rt}$

ここで、$P = 100$ 万円、$r = 0.1$、$t = 1$ なので、

$A = 100 e^{0.1}$ 万円

問題5 (2) の結果を用いて、$e^{0.1} \approx 1.105$ とすると、

$A \approx 100 \times 1.105 = 110.5$ 万円

3. 最終的な答え

問題5 (1) の答え: $e^x$

問題5 (2) の答え: $e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$、 $e^{0.1} \approx 1.105$

問題5 (3) の答え: 110.5 万円