関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

まず、$f(x) = x(e^x - 4e^{-x}) = x(\frac{e^{2x} - 4}{e^x})$ と変形する。

$e^x > 0$ であるから、$f(x) < 0$ は $x(e^{2x} - 4) < 0$ と同値である。

$e^{2x} - 4 = 0$ のとき、$e^{2x} = 4$ より、$2x = \log 4 = 2\log 2$ となるので、$x = \log 2$ である。

したがって、$e^{2x} - 4 = e^{2x} - e^{\log 4}$ であるから、$e^{2x} - 4$ の符号は、$x = \log 2$ で変化する。

$e^{2x} - 4 > 0$ となるのは、$x > \log 2$ のときである。

$e^{2x} - 4 < 0$ となるのは、$x < \log 2$ のときである。

$x(e^{2x} - 4) < 0$ となるのは、

(i) $x > 0$ かつ $e^{2x} - 4 < 0$ のとき、または、

(ii) $x < 0$ かつ $e^{2x} - 4 > 0$ のときである。

(i) $x > 0$ かつ $x < \log 2$ のとき、$0 < x < \log 2$ である。

(ii) $x < 0$ かつ $x > \log 2$ のとき、この条件を満たす $x$ は存在しない。

したがって、$f(x) < 0$ の解は $0 < x < \log 2$ である。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を求める。

$y = f(x)$ と $x$軸との交点を求める。$f(x) = 0$ とすると、$x(e^x - 4e^{-x}) = 0$ であるから、$x = 0$ または $e^x - 4e^{-x} = 0$ である。$e^x - 4e^{-x} = 0$ より、$e^{2x} = 4$ となり、$x = \log 2$ である。

したがって、交点は $x = 0$ と $x = \log 2$ である。

$0 < x < \log 2$ で $f(x) < 0$ であったので、求める面積は

$S = -\int_0^{\log 2} x(e^x - 4e^{-x}) dx = -\int_0^{\log 2} (xe^x - 4xe^{-x}) dx$

となる。

部分積分を行う。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$S = -[(xe^x - e^x) - 4(-xe^{-x} - e^{-x})]_0^{\log 2}$

$= -[xe^x - e^x + 4xe^{-x} + 4e^{-x}]_0^{\log 2}$

$= -[(\log 2 \cdot 2 - 2 + 4\log 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2}) - (0 - 1 + 0 + 4)]$

$= -[2\log 2 - 2 + 2\log 2 + 2 + 1 - 4]$

$= -[4\log 2 - 3] = 3 - 4\log 2$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < \log 2$

(2) $3 - 4\log 2$