与えられた関数 $y$ を微分する問題です。以下の4つの関数について、$x$で微分した $y'$ を求めます。 (2) $y = (3x - 1)^3$ (3) $y = (2x - 1)(x - 2)^2$ (4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$ (5) $y = \frac{1}{(2x + 3)^2}$

解析学微分合成関数の微分積の微分
2025/7/15

1. 問題の内容

与えられた関数 yy を微分する問題です。以下の4つの関数について、xxで微分した yy' を求めます。
(2) y=(3x1)3y = (3x - 1)^3
(3) y=(2x1)(x2)2y = (2x - 1)(x - 2)^2
(4) y=(x2+2x+3)2y = (x^2 + 2x + 3)^2
(5) y=1(2x+3)2y = \frac{1}{(2x + 3)^2}

2. 解き方の手順

(2)
合成関数の微分公式を使います。y=u3y = u^3, u=3x1u = 3x - 1 とすると、dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} です。
dydu=3u2\frac{dy}{du} = 3u^2
dudx=3\frac{du}{dx} = 3
よって、
dydx=3(3x1)23=9(3x1)2\frac{dy}{dx} = 3(3x - 1)^2 \cdot 3 = 9(3x - 1)^2
(3)
積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。y=uvy = uv, u=2x1u = 2x - 1, v=(x2)2v = (x - 2)^2 とすると、y=uv+uvy' = u'v + uv' です。
u=2u' = 2
v=2(x2)v' = 2(x - 2)
よって、
y=2(x2)2+(2x1)(2(x2))=2(x2)2+2(2x1)(x2)y' = 2(x - 2)^2 + (2x - 1)(2(x - 2)) = 2(x - 2)^2 + 2(2x - 1)(x - 2)
y=2(x24x+4)+2(2x25x+2)=2x28x+8+4x210x+4=6x218x+12=6(x23x+2)=6(x1)(x2)y' = 2(x^2 - 4x + 4) + 2(2x^2 - 5x + 2) = 2x^2 - 8x + 8 + 4x^2 - 10x + 4 = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)
(4)
合成関数の微分公式を使います。y=u2y = u^2, u=x2+2x+3u = x^2 + 2x + 3 とすると、dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} です。
dydu=2u\frac{dy}{du} = 2u
dudx=2x+2\frac{du}{dx} = 2x + 2
よって、
dydx=2(x2+2x+3)(2x+2)=4(x2+2x+3)(x+1)=4(x3+3x2+5x+3)\frac{dy}{dx} = 2(x^2 + 2x + 3)(2x + 2) = 4(x^2 + 2x + 3)(x + 1) = 4(x^3 + 3x^2 + 5x + 3)
dydx=4x3+12x2+20x+12\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12
(5)
合成関数の微分公式を使います。y=1u2=u2y = \frac{1}{u^2} = u^{-2}, u=2x+3u = 2x + 3 とすると、dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} です。
dydu=2u3=2u3\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}
dudx=2\frac{du}{dx} = 2
よって、
dydx=2(2x+3)32=4(2x+3)3\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{(2x + 3)^3} \cdot 2 = -\frac{4}{(2x + 3)^3}

3. 最終的な答え

(2) y=9(3x1)2y' = 9(3x - 1)^2
(3) y=6(x1)(x2)y' = 6(x - 1)(x - 2)
(4) y=4x3+12x2+20x+12y' = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12
(5) y=4(2x+3)3y' = -\frac{4}{(2x + 3)^3}

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