関数 $f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は実数の定数とする。 (1) $2\sin x + \cos x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。 (2) $a>3$ のとき、$f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は実数の定数とする。

(1) $2\sin x + \cos x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

(2) $a>3$ のとき、$f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$2\sin x + \cos x = t$ より、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = 2\sin x + \cos x = \sqrt{2^2 + 1^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ を満たす角である。

$-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$ より、$-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$。

次に、$f(x)$ を $t$ で表す。

$t^2 = (2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x$

$f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2$

$f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2at + 2$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、$f(x) = 3(1-\cos^2x)+4\sin x \cos x - 2at + 2$.

$t^2 = 4\sin^2x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x$ より

$4\sin^2x + 4\sin x \cos x = t^2 - \cos^2x$ なので、$\sin x \cos x = \frac{t^2-4\sin^2x-\cos^2x}{4}$.

これは利用できない。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = t^2$。

$4\sin^2 x + \cos^2 x = 3\sin^2x + (\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\sin^2 x + 1$。

$3\sin^2 x + 4\sin x \cos x = t^2 - 1 + \sin^2 x$.

ここで、$2\sin^2x - \sin^2x = \sin^2x$となるので、代入しても変わらない。

$f(x) = 3\sin^2x+4\sin x \cos x - 2at + 2 = t^2-\cos^2x-\sin^2x + 3\sin^2 x$.

$t^2 = (2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 3\sin^2 x + \sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + 1$

よって、$3\sin^2 x + 4\sin x \cos x = t^2 - 1$

$f(x) = t^2 - 1 - 2at + 2 = t^2 - 2at + 1$

(2) $f(x) = t^2 - 2at + 1 = (t - a)^2 - a^2 + 1$

$a>3$ より、軸 $t=a$ は範囲 $-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$ の外にある。

$a > \sqrt{5}$ なので、最小値は $t = \sqrt{5}$ のとき。

$f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5} - a)^2 - a^2 + 1 = 5 - 2\sqrt{5} a + a^2 - a^2 + 1 = 6 - 2\sqrt{5} a$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - 2at + 1$, $-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$

(2) $6 - 2\sqrt{5}a$