$x \to 0$ のとき、以下の問題に答えよ。ただし、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とする。 (1) $x^n o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めよ。 (2) $\frac{1}{1+x} = 1 + ax + bx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。 (3) $\{2 + x + o(x)\} \{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = a + bx + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。 (4) $\frac{(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2))}{1 + x} = a + bx + cx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, c, l$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の問題に答えよ。ただし、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とする。

(1) $x^n o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めよ。

(2) $\frac{1}{1+x} = 1 + ax + bx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。

(3) $\{2 + x + o(x)\} \{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = a + bx + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。

(4) $\frac{(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2))}{1 + x} = a + bx + cx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, c, l$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $o(x^n)$ は $x^n$ より早く0に収束する関数を表すので、$x^n o(x^n)$ は $x^{2n}$ より早く0に収束する。したがって、$x^n o(x^n) = o(x^{2n-1})$ となる。$x^{2n-1}$より早く0に収束するとみなせる最大の$l$は$2n-1$。したがって、$l = 2n-1$。

(2) $\frac{1}{1+x}$ をマクローリン展開する。

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$

したがって、$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$ となる。

$1 + ax + bx^2 + o(x^l) = 1 - x + x^2 + o(x^2)$ より、$a = -1$, $b = 1$, $l = 2$。

(3) $\{2 + x + o(x)\} \{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = 2 + 4x + 2x^2 + o(x^2) + x + 2x^2 + o(x^2) + o(x) + o(x^2) = 2 + 5x + 4x^2 + o(x^2)$

$a + bx + o(x^l) = 2 + 5x + o(x)$

$a = 2$, $b = 5$, $l = 1$。

(4) $(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2)) = 1 - 2x + 3x^2 + o(x^2) + 4x - 8x^2 + 12x^3 + o(x^3) + 2x^2 - 4x^3 + 6x^4 + o(x^4) = 1 + 2x - 3x^2 + o(x^2)$

$\frac{1 + 2x - 3x^2 + o(x^2)}{1 + x} = (1 + 2x - 3x^2 + o(x^2)) (1 - x + x^2 - x^3 + \dots)$

$= 1 - x + x^2 + o(x^2) + 2x - 2x^2 + 2x^3 + o(x^3) - 3x^2 + 3x^3 - 3x^4 + o(x^4) = 1 + x - 4x^2 + o(x^2)$

$a + bx + cx^2 + o(x^l) = 1 + x - 4x^2 + o(x^2)$

$a = 1$, $b = 1$, $c = -4$, $l = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $l = 2n - 1$

(2) $a = -1$, $b = 1$, $l = 2$

(3) $a = 2$, $b = 5$, $l = 1$

(4) $a = 1$, $b = 1$, $c = -4$, $l = 2$