$0 \le \theta < 2\pi$において、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$において、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{2}{3}\theta$とおくと、与えられた条件は$\sin x = \frac{1}{4}$となります。

$0 \le \theta < 2\pi$より、$0 \le \frac{2}{3}\theta < \frac{4}{3}\pi$となるので、$0 \le x < \frac{4}{3}\pi$です。

次に、$\cos 2\theta$を$x$で表します。

$\theta = \frac{3}{2}x$なので、$2\theta = 3x$です。

$\cos 2\theta = \cos 3x$となります。

$\cos 3x$の公式は、$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$です。

$\sin x = \frac{1}{4}$なので、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$です。

したがって、$\cos x = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$です。

ここで、$0 \le x < \frac{4}{3}\pi$であることに注意すると、$x$が第1象限または第2象限の角のとき、$\cos x > 0$なので、$\cos x = \frac{\sqrt{15}}{4}$となります。$x$が第3象限の角のとき、$\cos x < 0$なので、$\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{4}$となります。

それぞれのケースについて$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$を計算します。

ケース1: $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{4}$のとき

$\cos 3x = 4 \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3 - 3 \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = 4 \left(\frac{15\sqrt{15}}{64}\right) - \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{16} - \frac{12\sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$

ケース2: $\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{4}$のとき

$\cos 3x = 4 \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3 - 3 \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = 4 \left(-\frac{15\sqrt{15}}{64}\right) + \frac{3\sqrt{15}}{4} = -\frac{15\sqrt{15}}{16} + \frac{12\sqrt{15}}{16} = -\frac{3\sqrt{15}}{16}$

しかし、$x = \frac{2\theta}{3}$　なので $0 \leq x < \frac{4\pi}{3}$ であり sin x = 1/4 であることを考慮すると、 cos xの値が確定しないため、 cos2θ の値を一つに定めることはできない。

$\cos 2\theta = 1-2\sin^2 \theta$　の公式を利用することを考える。$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$だから

$\cos 2\theta = \cos 3x = 1-2\sin^2(3x/2)$

$\sin x = \frac{1}{4}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\cos (2x) = 1-2\sin^2x = 1 - 2(\frac{1}{16})= \frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

$\sin (2x) = 2\sin x \cos x = 2(\frac{1}{4}) (\pm \frac{\sqrt{15}}{4})= \pm \frac{\sqrt{15}}{8}$

$\cos 2\theta = \cos 3x$

$\cos 3x = \cos (2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = \frac{7}{8} (\pm \frac{\sqrt{15}}{4})- (\pm \frac{\sqrt{15}}{8}) (\frac{1}{4})$

$= \pm \frac{7\sqrt{15}}{32} \mp \frac{\sqrt{15}}{32} = \pm \frac{6\sqrt{15}}{32} = \pm \frac{3\sqrt{15}}{16}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\theta = \frac{3\sqrt{15}}{16}$　または　$\cos 2\theta = -\frac{3\sqrt{15}}{16}$