関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ が与えられています。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解きなさい。 (2) 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ が与えられています。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解きなさい。

(2) 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

まず、$f(x)$ を整理します。

$f(x) = x(e^x - 4e^{-x}) = x(e^x - \frac{4}{e^x}) = x \frac{e^{2x} - 4}{e^x}$

$f(x) < 0$ より、$\frac{x(e^{2x} - 4)}{e^x} < 0$。$e^x > 0$ であるから、$x(e^{2x} - 4) < 0$。

$e^{2x} - 4 = 0$ となるのは、$e^{2x} = 4$ より、$2x = \ln 4 = 2 \ln 2$, つまり $x = \ln 2$ のときです。

したがって、$x(e^{2x} - 4) < 0$ となるのは、$x < 0$ かつ $e^{2x} > 4$、または、$x > 0$ かつ $e^{2x} < 4$ のときです。

$x < 0$ かつ $e^{2x} > 4$ となるのは、$x < 0$ かつ $2x > \ln 4$ より、$x < 0$ かつ $x > \ln 2$ なので、これはありえません。

$x > 0$ かつ $e^{2x} < 4$ となるのは、$x > 0$ かつ $2x < \ln 4$ より、$x > 0$ かつ $x < \ln 2$ なので、$0 < x < \ln 2$ です。

したがって、$f(x) < 0$ の解は、$0 < x < \ln 2$ です。

(2) 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

まず、$f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(e^x - 4e^{-x}) = 0$ より、$x = 0$ または $e^x - 4e^{-x} = 0$。

$e^x - 4e^{-x} = 0$ より、$e^x = 4e^{-x}$, $e^{2x} = 4$, $2x = \ln 4 = 2 \ln 2$, $x = \ln 2$。

$f(x)$ は $x = 0$ と $x = \ln 2$ で $x$ 軸と交わり、(1) より $0 < x < \ln 2$ で $f(x) < 0$ であるから、求める面積 $S$ は、

$S = - \int_0^{\ln 2} x(e^x - 4e^{-x}) dx$ で与えられます。

$I = \int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$

$J = \int x e^{-x} dx = \int x (-e^{-x})' dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x}$

$S = -\int_0^{\ln 2} xe^x - 4xe^{-x} dx = -[xe^x - e^x + 4xe^{-x} + 4e^{-x}]_0^{\ln 2}$

$= -[(\ln 2)e^{\ln 2} - e^{\ln 2} + 4(\ln 2)e^{-\ln 2} + 4e^{-\ln 2} - (0 - 1 + 0 + 4)]$

$= -[2\ln 2 - 2 + 4(\ln 2) \frac{1}{2} + 4(\frac{1}{2}) - (-1 + 4)]$

$= -[2\ln 2 - 2 + 2\ln 2 + 2 - 3] = -[4\ln 2 - 3] = 3 - 4\ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < \ln 2$

(2) $3 - 4\ln 2$