関数 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

(2) $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(x^2 + 1)$ について、増減、極値、凹凸、変曲点を調べる。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$

増減表を作成するために、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \Rightarrow x = 0$

凹凸を調べるために、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

増減表：

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| f'(x) | - | - | - | 0 | + | + | + |

| f''(x)| - | 0 | + | + | + | 0 | - |

| f(x) | ↘ |log2| ↗ | log1=0| ↗ | log2| ↘ |

$x = 0$ のとき、$f(0) = \log(0^2 + 1) = \log(1) = 0$

$x = \pm 1$ のとき、$f(\pm 1) = \log((\pm 1)^2 + 1) = \log(2)$

したがって、$x = 0$ で極小値 $0$ をとる。極大値はない。

変曲点は $x = -1$ と $x = 1$ で、それぞれ $(\pm 1, \log(2))$ である。

(2) $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \log(x^2 + 1)$ を求める。

$x \to \pm\infty$ のとき、$x^2 + 1 \to \infty$ であるから、$\log(x^2 + 1) \to \infty$ となる。

したがって、$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$ である。

グラフの概形：

グラフは $y$ 軸に関して対称で、$x = 0$ で極小値 $0$ をとり、$x \to \pm\infty$ で $\infty$ に発散する。$x = \pm 1$ に変曲点を持つ。

3. 最終的な答え

(1)

- 増減：$x<0$ で減少、$x>0$ で増加

- 極値：$x=0$ で極小値 $0$

- 凹凸：$x<-1$ および $x>1$ で上に凸、$-1<x<1$ で下に凸

- 変曲点：$(\pm 1, \log(2))$

(2)

- $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$

- グラフの概形：$y$ 軸に関して対称な下に凸のグラフで、極小値 $(0, 0)$ を持つ。