$0 < \alpha < \beta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{\alpha}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\sin \beta}$ を示す問題です。 途中の式から、$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ とおき、$\alpha \sin \beta < \beta \sin \alpha$ を示す方針のようです。つまり$\frac{\sin \beta}{\beta} < \frac{\sin \alpha}{\alpha}$ を示すことになります。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \beta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{\alpha}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\sin \beta}$ を示す問題です。

途中の式から、$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ とおき、$\alpha \sin \beta < \beta \sin \alpha$ を示す方針のようです。つまり$\frac{\sin \beta}{\beta} < \frac{\sin \alpha}{\alpha}$ を示すことになります。

2. 解き方の手順

$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ と定義します。$f(\alpha) > f(\beta)$ を示すためには、$f(x)$ が $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ で減少関数であることを示せば十分です。

$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

$g(x) = x \cos x - \sin x$ とおくと、$f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ です。

したがって、$g(x)$ の符号を調べれば、$f'(x)$ の符号が分かります。

$g'(x) = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$

$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\sin x > 0$ なので、$g'(x) = -x \sin x < 0$ です。

したがって、$g(x)$ は $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ で減少関数です。

$g(0) = 0 \cdot \cos 0 - \sin 0 = 0$ であるから、$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ において、$g(x) < 0$ です。

したがって、$f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} < 0$ となり、$f(x)$ は $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ で減少関数です。

$0 < \alpha < \beta \le \frac{\pi}{2}$ より、$f(\alpha) > f(\beta)$ が成立します。

すなわち、$\frac{\sin \alpha}{\alpha} > \frac{\sin \beta}{\beta}$ となり、$\frac{\alpha}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\sin \beta}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$\frac{\alpha}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\sin \beta}$