(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める。 (2) $e^3 > 3^e$ であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める。

(2) $e^3 > 3^e$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の対数をとる。

$\log f(x) = \log x^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \log x$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

したがって、

$f'(x) = f(x) \cdot \frac{1 - \log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x > 0$ より $x^{\frac{1}{x}} > 0$ かつ $x^2 > 0$ なので、$1 - \log x = 0$ を解けば良い。

$\log x = 1$

$x = e$

$x < e$ のとき、$\log x < 1$ より $1 - \log x > 0$ なので $f'(x) > 0$。

$x > e$ のとき、$\log x > 1$ より $1 - \log x < 0$ なので $f'(x) < 0$。

したがって、$x = e$ で極大となる。

極大値は、$f(e) = e^{\frac{1}{e}}$

(2)

$e^3 > 3^e$ を示す。両辺の対数をとる。

$\log e^3 > \log 3^e$

$3 > e \log 3$

$\frac{3}{e} > \log 3$

ここで、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ を考えると、$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ である。

$x = e$ で極大値をとることが(1)よりわかる。

$f(3) = \frac{\log 3}{3}$ と $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ を比較する。

$e > 3$ より、$f(3) < f(e)$ となる。

したがって、$\frac{\log 3}{3} < \frac{1}{e}$

$\log 3 < \frac{3}{e}$

よって、$e^3 > 3^e$ である。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $f(e) = e^{\frac{1}{e}}$

(2) $e^3 > 3^e$ である（証明完了）。