次の2つの関数について、指定された範囲における最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める問題です。 (1) $y = \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} \quad (0 \le \theta < 2\pi)$ (2) $y = \sin{\theta} - \cos{\theta} \quad (\pi \le \theta < 2\pi)$

## 問題の解答

1. 問題の内容

次の2つの関数について、指定された範囲における最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

(1) $y = \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} \quad (0 \le \theta < 2\pi)$

(2) $y = \sin{\theta} - \cos{\theta} \quad (\pi \le \theta < 2\pi)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} \quad (0 \le \theta < 2\pi)$

三角関数の合成を行います。

$y = 2 (\frac{1}{2} \sin{\theta} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{\theta})$

$\cos{\alpha} = \frac{1}{2}, \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

$y = 2 (\cos{\frac{\pi}{3}} \sin{\theta} + \sin{\frac{\pi}{3}} \cos{\theta})$

$y = 2 \sin{(\theta + \frac{\pi}{3})}$

$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ です。

$\sin{(\theta + \frac{\pi}{3})}$ の最大値は1、最小値は-1です。

最大値をとるのは $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、つまり $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ のときです。

このとき、 $y = 2 \times 1 = 2$ となります。

最小値をとるのは $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ のとき、つまり $\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ のときです。

このとき、 $y = 2 \times (-1) = -2$ となります。

(2) $y = \sin{\theta} - \cos{\theta} \quad (\pi \le \theta < 2\pi)$

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\theta} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos{\theta})$

$\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

$y = \sqrt{2} (\cos{\frac{\pi}{4}} \sin{\theta} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cos{\theta})$

$y = \sqrt{2} \sin{(\theta - \frac{\pi}{4})}$

$\pi \le \theta < 2\pi$ なので、$\pi - \frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4}$ です。

つまり、$\frac{3\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})}$ の最大値は1、最小値は-1です。

最大値をとるのは $\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、つまり $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ のときですが、これは $\pi \le \theta < 2\pi$ の範囲外なので、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$にはなりません。$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$ のときを考える必要がありますが、これは範囲外となります。

$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = 1$ となるのは、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$のときで、$\theta = \frac{11\pi}{4}$ となり、$\pi \le \theta < 2\pi$の範囲外です。

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$のとき、$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = \sin{(\frac{3\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$となります。

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$のとき、$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = \sin{(\frac{7\pi}{4})} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$となります。

$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = 1$となる$\theta$は存在しないため、$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})}$が最大値を取るのは、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$となる$\theta$に近い$\theta = \pi$のときです。

このとき、$y = \sqrt{2} \sin{( \pi - \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2} \sin{\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$となります。

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$のとき、$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = -1$となり、$y = - \sqrt{2}$となります。

$\theta = \frac{7\pi}{4}$となり、範囲内にあります。

したがって、最大値は$1$ ($\theta = \pi$)、最小値は$-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{7\pi}{4}$)となります。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 2 ($\theta = \frac{\pi}{6}$)

最小値: -2 ($\theta = \frac{7\pi}{6}$)

(2)

最大値: 1 ($\theta = \pi$)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{7\pi}{4}$)