問題文は、関数 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面を求める問題と、$z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$における接平面を求める問題です。

1. 問題の内容

問題文は、関数 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面を求める問題と、$z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$における接平面を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面

接平面の方程式は、

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

で与えられます。

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$f_y(x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f_y(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$z_0 = \sqrt{2}$

接平面の方程式は

$z - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y - 1)$

$z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}$

$z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}$

$z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y - \sqrt{2} + \sqrt{2}$

$z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$

(5) $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$における接平面

接平面の方程式は、

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

で与えられます。

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = 4 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{4y}{x^2 + y^2}$

$f_y(x, y) = 4 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{4x}{x^2 + y^2}$

点 $(1, -1, -\pi)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, -1) = -\frac{4(-1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

$f_y(1, -1) = \frac{4(1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

$z_0 = -\pi$

接平面の方程式は

$z - (-\pi) = 2(x - 1) + 2(y - (-1))$

$z + \pi = 2x - 2 + 2y + 2$

$z = 2x + 2y - \pi$

3. 最終的な答え

(4) $z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$

(5) $z = 2x + 2y - \pi$