$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta = -1$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta = -1$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta = -1$ を変形して、三角関数の合成を行う。

$\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta = 2\left(\frac{1}{2}\sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta\right) = 2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$

したがって、

$2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = -1$

$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

ここで、$\alpha = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3}$ なので、$-\frac{\pi}{3} \le \alpha < \frac{5\pi}{3}$ となる。

$\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ となる $\alpha$ の値は、$\alpha = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ である。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ より $\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$ より $\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし、$\theta < 2\pi$ であるから、$\frac{13\pi}{6}$ は解として不適切。

したがって、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3\pi}{2}$