与えられた曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線を微分して、曲線の傾きを求める。

$y = -x^3 + x^2 + 1$

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 2x$

次に、$x = 1$ を代入して、点 $(1, 1)$ における曲線の傾きを求める。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

したがって、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $-1$ である。

接線の傾きが $-1$ で、点 $(1, 1)$ を通る直線の方程式は、次のようになる。

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -x + 2$ です。