与えられた極限を計算します。 $\lim_{x\to 1} \frac{-x^3+2x^2-x}{2x^3-x^2-4x+3}$

解析学極限因数分解不定形多項式
2025/7/13

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。
limx1x3+2x2x2x3x24x+3\lim_{x\to 1} \frac{-x^3+2x^2-x}{2x^3-x^2-4x+3}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に x=1x=1 を代入してみます。
分子:13+2(12)1=1+21=0-1^3+2(1^2)-1 = -1+2-1 = 0
分母:2(13)124(1)+3=214+3=02(1^3)-1^2-4(1)+3 = 2-1-4+3 = 0
分子と分母がともに0になるので、不定形00\frac{0}{0}です。
したがって、分子と分母を因数分解して、共通因子を探します。
分子:x3+2x2x=x(x22x+1)=x(x1)2-x^3+2x^2-x = -x(x^2-2x+1) = -x(x-1)^2
分母:2x3x24x+32x^3-x^2-4x+3
x=1x=1のとき0になるので、x1x-1を因数に持ちます。組み立て除法を使うと、
2x3x24x+3=(x1)(2x2+x3)=(x1)(x1)(2x+3)=(x1)2(2x+3)2x^3-x^2-4x+3 = (x-1)(2x^2+x-3) = (x-1)(x-1)(2x+3) = (x-1)^2(2x+3)
したがって、
limx1x3+2x2x2x3x24x+3=limx1x(x1)2(x1)2(2x+3)=limx1x2x+3\lim_{x\to 1} \frac{-x^3+2x^2-x}{2x^3-x^2-4x+3} = \lim_{x\to 1} \frac{-x(x-1)^2}{(x-1)^2(2x+3)} = \lim_{x\to 1} \frac{-x}{2x+3}
x=1x=1を代入すると、12(1)+3=15\frac{-1}{2(1)+3} = \frac{-1}{5}

3. 最終的な答え

15\frac{-1}{5}

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