次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1}$ ただし、$\log x$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1}$

ただし、$\log x$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです（ただし、右辺の極限が存在することが前提です）。

この問題では、$f(x) = \log x$、$g(x) = x - 1$ とおくと、$f'(x) = \frac{1}{x}$、$g'(x) = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to 1} \frac{1}{x}$

$x \to 1$ のとき、$1/x \to 1$ なので、

$\lim_{x\to 1} \frac{1}{x} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1$