与えられた3つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $\vec{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $\vec{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

方向微分係数は、定義より

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$

で計算できます。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

$f(0, 0) = \cos 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t\cos\theta) + \sin(t\sin\theta) - 1}{t}$

$\cos(t\cos\theta) = 1 - \frac{(t\cos\theta)^2}{2} + O(t^4)$

$\sin(t\sin\theta) = t\sin\theta - \frac{(t\sin\theta)^3}{6} + O(t^5)$

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t\cos\theta)^2}{2} + t\sin\theta - 1 + O(t^3)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\sin\theta + O(t^2)}{t} = \sin\theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

$f(0, 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta |t\sin\theta|}{t\sqrt{t^2\cos^2\theta + t^2\sin^2\theta}}/t = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{t|t|} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos\theta |\sin\theta|}{|t|}$

この極限は、$\theta$ に依存して収束する場合としない場合があります。

しかし、問題では$\vec{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$方向と指定されており、そのような曖昧さがないように定めているはずです。

$\lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0, 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta|t\sin\theta|/\sqrt{t^2}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta|t\sin\theta|}{|t|t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos\theta|\sin\theta||t|}{|t|} = \cos\theta|\sin\theta|$.

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

$f(0, 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta \cdot t\sin\theta \cdot \sin\frac{1}{\sqrt{t^2\cos^2\theta + t^2\sin^2\theta}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2\cos\theta\sin\theta\sin(\frac{1}{|t|})}{t}$

$= \lim_{t \to 0} t\cos\theta\sin\theta\sin(\frac{1}{|t|}) = 0$

なぜなら、$\sin(\frac{1}{|t|})$は有界だから。

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta$

(2) $\cos\theta|\sin\theta|$

(3) $0$