次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

2. 解き方の手順

まず、この極限が不定形かどうかを確認します。$x \to 0$ のとき、$x \cos x \to 0$ および $x - \sin 2x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を使用できます。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x \cos x)}{\frac{d}{dx}(x - \sin 2x)}$

それぞれの微分を計算します。

$\frac{d}{dx}(x \cos x) = \cos x - x \sin x$

$\frac{d}{dx}(x - \sin 2x) = 1 - 2 \cos 2x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x}{1 - 2 \cos 2x}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x - x \sin x \to \cos 0 - 0 \cdot \sin 0 = 1$ および $1 - 2 \cos 2x \to 1 - 2 \cos 0 = 1 - 2 = -1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x}{1 - 2 \cos 2x} = \frac{1}{-1} = -1$

3. 最終的な答え

-1