(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ の点 $(1, 2)$ における勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めます。 (3) 関数 $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、 (a) 点 $(-7, 6)$ における勾配 $\nabla f(-7, 6)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ について、点 $(-7, 6)$ における方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求めます。 (c) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ と、その方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ の点 $(1, 2)$ における勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めます。

(3) 関数 $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、

(a) 点 $(-7, 6)$ における勾配 $\nabla f(-7, 6)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ について、点 $(-7, 6)$ における方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求めます。

(c) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ と、その方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$f(x, y) = x^y$ の偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x$

次に、$\nabla f(x, y)$ を計算します。

$\nabla f(x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (yx^{y-1}, x^y \ln x)$

最後に、$\nabla f(1, 2)$ を計算します。

$\nabla f(1, 2) = (2 \cdot 1^{2-1}, 1^2 \ln 1) = (2 \cdot 1, 1 \cdot 0) = (2, 0)$

(3)

(a) まず、$f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ の偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

次に、$\nabla f(x, y)$ を計算します。

$\nabla f(x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (2x + 3y, 3x + 4y)$

最後に、$\nabla f(-7, 6)$ を計算します。

$\nabla f(-7, 6) = (2(-7) + 3(6), 3(-7) + 4(6)) = (-14 + 18, -21 + 24) = (4, 3)$

(b) 方向ベクトル $\vec{v} = (1, 2)$ を持つ直線 $e$ について、単位ベクトル $\vec{u} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$ を計算します。

$||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$\vec{u} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$

方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ は、$\nabla f(-7, 6)$ と $\vec{u}$ の内積で計算できます。

$\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = \nabla f(-7, 6) \cdot \vec{u} = (4, 3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

(c) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ は、$\nabla f(-7, 6)$ と同じ方向を向いています。

$\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

単位ベクトル $\ell$ は、$\frac{\nabla f(-7, 6)}{||\nabla f(-7, 6)||}$ で計算できます。

$||\nabla f(-7, 6)|| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\ell = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

この方向の方向微分係数は $||\nabla f(-7, 6)||$ です。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7, 6) = ||\nabla f(-7, 6)|| = 5$

3. 最終的な答え

(2) $\nabla f(1, 2) = (2, 0)$

(3)

(a) $\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = 2\sqrt{5}$

(c) 単位ベクトル $\ell = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$, 方向微分係数 $= 5$