$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{\pi}{2} + h$ と置換します。すると、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $h \to 0$ となります。

与えられた式は次のように書き換えられます。

$$\lim_{h \to 0} \frac{(2(\frac{\pi}{2} + h) - \pi)^2}{\sin (\frac{\pi}{2} + h) - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{(2h)^2}{\cos h - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{\cos h - 1}$$

ここで、$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \frac{h^4}{4!} - \dots$ というTaylor展開を利用します。

すると、$\cos h - 1 = - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \dots$ となります。

したがって、

$$\lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{\cos h - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{-\frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \dots} = \lim_{h \to 0} \frac{4}{-\frac{1}{2} + \frac{h^2}{24} - \dots} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$$

また、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h^2} = -\frac{1}{2}$ を利用すると、

$$\lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{\cos h - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{4}{\frac{\cos h - 1}{h^2}} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$$

3. 最終的な答え

-8