次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。まず、分子と分母の $x$ を $0$ に近づけると、両方とも $0$ になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ になります。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子を微分すると $4x - 2\sin 2x$ となります。分母を微分すると $4x^3$ となります。新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{4x - 2\sin 2x}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x - \sin 2x}{2x^3}$

分子と分母の $x$ を $0$ に近づけると、両方とも $0$ になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ になります。したがって、ロピタルの定理をもう一度適用できます。

分子を微分すると $2 - 2\cos 2x$ となります。分母を微分すると $6x^2$ となります。新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos 2x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{3x^2}$

分子と分母の $x$ を $0$ に近づけると、両方とも $0$ になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ になります。したがって、ロピタルの定理をもう一度適用できます。

分子を微分すると $2\sin 2x$ となります。分母を微分すると $6x$ となります。新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

分子と分母の $x$ を $0$ に近づけると、両方とも $0$ になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ になります。したがって、ロピタルの定理をもう一度適用できます。

分子を微分すると $2\cos 2x$ となります。分母を微分すると $3$ となります。新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{3}$

$x$ を $0$ に近づけると、$\cos 2x$ は $1$ に近づきます。したがって、極限は次のようになります。

$\frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$