方程式 $(x^2 + 2x - 2)e^{-x} + a = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。ただし、$a$ は定数であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ が与えられています。

1. 問題の内容

方程式 $(x^2 + 2x - 2)e^{-x} + a = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。ただし、$a$ は定数であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = (x^2 + 2x - 2)e^{-x}$ とおくと、$f(x) = -a$ となり、この方程式の実数解の個数は $y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ のグラフの交点の個数に等しくなります。

したがって、$f(x)$ の増減を調べるために、微分を行います。

$f'(x) = (2x + 2)e^{-x} + (x^2 + 2x - 2)(-e^{-x}) = e^{-x}(-x^2) = e^{-x}(-x^2 + 4)$.

$f'(x) = e^{-x}(-(x-2)(x+2)) = -e^{-x}(x^2 - 4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm 2$ のときです。

次に、$f(x)$ の増減表を作成します。

$x = -2$ のとき、$f(-2) = (4 - 4 - 2)e^2 = -2e^2$.

$x = 2$ のとき、$f(2) = (4 + 4 - 2)e^{-2} = 6e^{-2}$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (x^2 + 2x - 2)e^{-x} = 0$ (∵ $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ for any $n$).

増減表は以下のようになります。

x | -∞ | ... | -2 | ... | 2 | ... | ∞

---|---|---|---|---|---|---|---

f'(x) | | - | 0 | + | 0 | - |

f(x) | -∞ | ↓ | -2e^2 | ↑ | 6e^{-2} | ↓ | 0

よって、$y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ のグラフの交点の個数を考えます。

- $-a > 6e^{-2}$ つまり $a < -6e^{-2}$ のとき、解は 0 個。

- $-a = 6e^{-2}$ つまり $a = -6e^{-2}$ のとき、解は 1 個。

- $-2e^2 < -a < 6e^{-2}$ つまり $-6e^{-2} < a < 2e^2$ のとき、解は 2 個。

- $-a = -2e^2$ つまり $a = 2e^2$ のとき、解は 1 個。

- $-a < -2e^2$ つまり $a > 2e^2$ のとき、解は 0 個。

また、$a = 0$ のとき、$f(x) = 0$。$x=-1 \pm \sqrt{3}$で$f(x) = 0$となるので、$y=f(x)$と$y=0$の交点は2個。

3. 最終的な答え

問題文を再度確認します。

$f(x) = (x^2 + 2x - 2)e^{-x}$

$f'(x) = (-x^2+4)e^{-x}$

aの値の範囲によって、解の個数が変わります。

$a < -6e^{-2}$ のとき、0個。

$a = -6e^{-2}$ のとき、1個。

$-6e^{-2} < a < 0$ のとき、3個。

$a = 0$ のとき、2個。

$0 < a < 2e^2$ のとき、1個。

$a = 2e^2$ のとき、1個。

$a > 2e^2$ のとき、0個。