$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて、式を簡単にします。

$\log x^{2x} = 2x \log x$

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to +0} 2x \log x$

となります。

このままでは不定形（$0 \times (-\infty)$）なので、変形します。

$2x \log x = 2 \frac{\log x}{1/x}$

これで、$x \to +0$のとき、$\frac{\log x}{1/x}$は$\frac{-\infty}{\infty}$の不定形になるので、ロピタルの定理が使えます。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

したがって、

$\lim_{x \to +0} 2x \log x = 2 \times 0 = 0$

3. 最終的な答え

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