以下の3つの問題を解きます。 (1) $z = \sin(\frac{y}{x})$ の偏導関数 $z_x$, $z_y$ を求めます。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2, 3)$ を求めます。 (3) $f(x, y) = \cos(x^2e^{\tan xy})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(1) $z = \sin(\frac{y}{x})$ の偏導関数 $z_x$, $z_y$ を求めます。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2, 3)$ を求めます。

(3) $f(x, y) = \cos(x^2e^{\tan xy})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(\frac{y}{x})$ について

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(\frac{y}{x}) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2}\cos(\frac{y}{x})$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(\frac{y}{x}) \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}\cos(\frac{y}{x})$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ について

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_x(2, 3) = \frac{2(2)}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f(x, y) = \cos(x^2e^{\tan xy})$ について

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x^2e^{\tan xy}) \cdot (2xe^{\tan xy} + x^2e^{\tan xy} \cdot \frac{y}{\cos^2(xy)})$

$f_x = -\sin(x^2e^{\tan xy}) \cdot (2xe^{\tan xy} + \frac{x^2ye^{\tan xy}}{\cos^2(xy)})$

$f_x(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 0) = -\sin((\sqrt{\frac{\pi}{6}})^2e^{\tan (\sqrt{\frac{\pi}{6}} \cdot 0)}) \cdot (2\sqrt{\frac{\pi}{6}}e^{\tan (\sqrt{\frac{\pi}{6}} \cdot 0)} + \frac{(\sqrt{\frac{\pi}{6}})^2 \cdot 0 \cdot e^{\tan (\sqrt{\frac{\pi}{6}} \cdot 0)}}{\cos^2(\sqrt{\frac{\pi}{6}} \cdot 0)})$

$= -\sin(\frac{\pi}{6}e^0) \cdot (2\sqrt{\frac{\pi}{6}}e^0 + 0)$

$= -\sin(\frac{\pi}{6}) \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

$= -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

$= -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2}\cos(\frac{y}{x})$, $z_y = \frac{1}{x}\cos(\frac{y}{x})$

(2) $z_x(2, 3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 0) = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$