定積分 $\int_{-a}^{a} (\sin{2x} + \cos{3x} + x^4 + \frac{3}{2}x + 2) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-a}^{a} (\sin{2x} + \cos{3x} + x^4 + \frac{3}{2}x + 2) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を各項に分解します。

$\int_{-a}^{a} \sin{2x} dx + \int_{-a}^{a} \cos{3x} dx + \int_{-a}^{a} x^4 dx + \int_{-a}^{a} \frac{3}{2}x dx + \int_{-a}^{a} 2 dx$

次に、各項の積分を計算します。

$\int_{-a}^{a} \sin{2x} dx = \left[-\frac{1}{2}\cos{2x}\right]_{-a}^{a} = -\frac{1}{2}\cos{2a} - (-\frac{1}{2}\cos{-2a}) = -\frac{1}{2}\cos{2a} + \frac{1}{2}\cos{2a} = 0$

$\int_{-a}^{a} \cos{3x} dx = \left[\frac{1}{3}\sin{3x}\right]_{-a}^{a} = \frac{1}{3}\sin{3a} - \frac{1}{3}\sin{-3a} = \frac{1}{3}\sin{3a} + \frac{1}{3}\sin{3a} = \frac{2}{3}\sin{3a}$

$\int_{-a}^{a} x^4 dx = \left[\frac{1}{5}x^5\right]_{-a}^{a} = \frac{1}{5}a^5 - \frac{1}{5}(-a)^5 = \frac{1}{5}a^5 + \frac{1}{5}a^5 = \frac{2}{5}a^5$

$\int_{-a}^{a} \frac{3}{2}x dx = \left[\frac{3}{4}x^2\right]_{-a}^{a} = \frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{4}(-a)^2 = \frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{4}a^2 = 0$

$\int_{-a}^{a} 2 dx = \left[2x\right]_{-a}^{a} = 2a - 2(-a) = 2a + 2a = 4a$

したがって、積分は次のようになります。

$0 + \frac{2}{3}\sin{3a} + \frac{2}{5}a^5 + 0 + 4a$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\sin(3a) + \frac{2}{5}a^5 + 4a$