## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた10個の積分を解く問題です。

(1) $\int x \sin(3x) dx$

(2) $\int \arctan(x) dx$

(3) $\int x \log(x) dx$

(4) $\int e^x \sin(2x) dx$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx$

(9) $\int \frac{1}{\sin(x)} dx$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} dx$

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2. 解き方の手順

以下にそれぞれの積分を解く手順を示します。

**(1) $\int x \sin(3x) dx$**

* 部分積分法を用います。$u = x$, $dv = \sin(3x) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos(3x)$ です。

* 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x \cos(3x) - \int -\frac{1}{3} \cos(3x) dx = -\frac{1}{3}x \cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx$

$\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C$

**(2) $\int \arctan(x) dx$**

* 部分積分法を用います。$u = \arctan(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ です。

* 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

* $\int \frac{x}{1+x^2} dx$ は、$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ なので、$\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \log|1+x^2| + C = \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$ となります。

* したがって、

$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

**(3) $\int x \log(x) dx$**

* 部分積分法を用います。$u = \log(x)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ です。

* 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{2} \int x dx$

$\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$

**(4) $\int e^x \sin(2x) dx$**

* 部分積分法を2回用います。$u = \sin(2x)$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 \cos(2x) dx$, $v = e^x$ です。

$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - \int 2 e^x \cos(2x) dx$

* 次に、$u = \cos(2x)$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -2 \sin(2x) dx$, $v = e^x$ です。

$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2(e^x \cos(2x) - \int -2 e^x \sin(2x) dx)$

$\int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) dx$

* 移項して、

$5 \int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)$

$\int e^x \sin(2x) dx = \frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C$

**(5) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$**

* 三角関数置換を用います。$x = \sin(\theta)$ とすると、$dx = \cos(\theta) d\theta$ です。

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \int \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$

* $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ より、

$\int \cos^2(\theta) d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C$

* $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ より、

$\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2}$

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

**(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx$**

* 部分分数分解を行います。$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$ なので、

$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$

$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$

$x = 5$ のとき、$1 = 7A$ より $A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき、$1 = -7B$ より $B = -\frac{1}{7}$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \frac{1}{7} \int \frac{1}{x - 5} dx - \frac{1}{7} \int \frac{1}{x + 2} dx$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \frac{1}{7} \log|x - 5| - \frac{1}{7} \log|x + 2| + C = \frac{1}{7} \log \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

**(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx$**

* 平方完成します。$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} dx$

* $u = x - \frac{3}{2}$ とすると、$du = dx$ なので、

$\int \frac{1}{u^2 + \frac{7}{4}} dx = \int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} du = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{7}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} \right) + C$

**(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx$**

* $x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5)$ なので、

$\frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} = \frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$

$1 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)x$

$1 = (A+B)x^2 + (-4A+C)x + 5A$

$A+B = 0$, $-4A+C = 0$, $5A = 1$

$A = \frac{1}{5}$, $B = -\frac{1}{5}$, $C = \frac{4}{5}$

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{-\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}}{x^2 - 4x + 5} dx = \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{5} \int \frac{x - 4}{x^2 - 4x + 5} dx$

* $t = x^2 - 4x + 5$ とすると、$dt = (2x - 4) dx$ より、$\frac{1}{2} dt = (x-2) dx$ なので、

$\int \frac{x-4}{x^2 - 4x + 5} dx = \int \frac{x-2-2}{x^2 - 4x + 5} dx = \frac{1}{2} \log|x^2 - 4x + 5| - 2 \int \frac{1}{(x-2)^2 + 1} dx$

$\int \frac{x-4}{x^2 - 4x + 5} dx = \frac{1}{2} \log|x^2 - 4x + 5| - 2 \arctan(x-2)$

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \log|x^2 - 4x + 5| + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

**(9) $\int \frac{1}{\sin(x)} dx$**

$\int \csc(x) dx = \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)} dx = \int \frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)} dx$

* $u = \cos(x)$ とすると、$du = -\sin(x) dx$ なので、

$\int \frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)} dx = - \int \frac{1}{1 - u^2} du = - \int \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} du = -\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right) du$

$= -\frac{1}{2} (-\log|1 - u| + \log|1 + u|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - u}{1 + u} \right| + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \right| + C$

$= \frac{1}{2} \log \left| \frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} \right| + C = \log \left| \tan(x/2) \right| + C$

**(10) $\int \sqrt{1 + x^2} dx$**

* 双曲線関数置換を用いる。$x = \sinh(u)$ とすると、$dx = \cosh(u) du$

$\int \sqrt{1 + x^2} dx = \int \sqrt{1 + \sinh^2(u)} \cosh(u) du = \int \cosh^2(u) du$

* $\cosh^2(u) = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ より、

$\int \cosh^2(u) du = \int \frac{1 + \cosh(2u)}{2} du = \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} \sinh(2u) + C$

* $\sinh(2u) = 2 \sinh(u) \cosh(u)$ より、

$\frac{1}{2} u + \frac{1}{4} \sinh(2u) = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \sinh(u) \cosh(u) = \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh}(x) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2}$

$\int \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh}(x) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$

$\operatorname{arcsinh}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$なので、

$\int \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C$

(2) $\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin(2x) dx = \frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \frac{1}{7} \log \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} \right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \log|x^2 - 4x + 5| + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin(x)} dx = \log \left| \tan(x/2) \right| + C$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$