$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を三角関数の恒等式を用いて簡略化します。

$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

したがって、求める極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}$

この式を次のように書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)^2$

ここで、$\frac{1 - \cos x}{\sin x}$ について考えます。

分子と分母に $1 + \cos x$ を掛けると、

$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ および $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{0}{1 + 1} = 0$

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)^2 = 0^2 = 0$

3. 最終的な答え

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