以下の5つの問題について、指定された偏導関数または偏微分係数を求める。存在しない場合は「存在しない」と答える。 (1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x, z_y$ を求める。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。 (3) $f(x,y) = \cos(x^2e^{\sin(xy)})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。 (4) $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0,0), f_y(0,0)$ を求める。 (5) $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$ の偏微分係数 $f_x(1,1), f_y(1,1)$ を求める。

1. 問題の内容

以下の5つの問題について、指定された偏導関数または偏微分係数を求める。存在しない場合は「存在しない」と答える。

(1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x, z_y$ を求める。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。

(3) $f(x,y) = \cos(x^2e^{\sin(xy)})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。

(4) $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0,0), f_y(0,0)$ を求める。

(5) $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$ の偏微分係数 $f_x(1,1), f_y(1,1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(y/x) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(y/x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_x(2,3) = \frac{2(2)}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(x,y) = -\sin(x^2 e^{\sin(xy)}) \cdot (2x e^{\sin(xy)} + x^2 e^{\sin(xy)} \cdot \cos(xy) \cdot y)$

$f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\sin((\pi/36) e^0) \cdot (2(\sqrt{\pi}/6)e^0 + (\pi/36)e^0 \cdot \cos(0) \cdot 0)$

$= -\sin(\pi/36) \cdot (2\sqrt{\pi}/6) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\pi/36)$

(4) $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0^4} - \sqrt{0^2 + 0^4}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

この極限は存在しない。$h \to 0^+$ で 1, $h \to 0^-$ で -1 となる。したがって$f_x(0,0)$ は存在しない。

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{0^2 + k^4} - \sqrt{0^2 + 0^4}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|k^2|}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

したがって、$f_y(0,0) = 0$

(5) $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$

$f(1,1) = \lim_{p \to \infty} (3^p + 2^p)^{1/p} = \lim_{p \to \infty} 3 (1 + (2/3)^p)^{1/p} = 3 \cdot 1 = 3$

$f(x,y) = \max(|3x|, |2y|)$ となる。

$f_x(1,1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h, 1) - f(1,1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max(|3(1+h)|, |2|) - \max(|3|, |2|)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max(|3+3h|, 2) - 3}{h}$

$h > 0$ のとき、$\max(|3+3h|, 2) = 3+3h$ なので、$\lim_{h \to 0^+} \frac{3+3h - 3}{h} = 3$

$h < 0$ のとき、$\max(|3+3h|, 2) = 3+3h$ (十分小さい $h$ に対して) なので、$\lim_{h \to 0^-} \frac{3+3h - 3}{h} = 3$

よって、$f_x(1,1) = 3$

$f_y(1,1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1, 1+k) - f(1,1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(|3|, |2(1+k)|) - \max(|3|, |2|)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(3, |2+2k|) - 3}{k}$

$k > 0$ のとき、$\max(3, |2+2k|) = 3$ なので、$\lim_{k \to 0^+} \frac{3 - 3}{k} = 0$

$k < 0$ のとき、$\max(3, |2+2k|) = 3$ なので、$\lim_{k \to 0^-} \frac{3 - 3}{k} = 0$

よって、$f_y(1,1) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$, $z_y = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x(2,3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\pi/36)$

(4) $f_x(0,0)$: 存在しない, $f_y(0,0) = 0$

(5) $f_x(1,1) = 3$, $f_y(1,1) = 0$