与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(1 + e^x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}$$

$x \to \infty$のとき、$\log(1 + e^x)$と$x$はともに無限大に発散するので、ロピタルの定理を使うことができます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}\log(1 + e^x)}{\frac{d}{dx}x}$$

$$\frac{d}{dx}\log(1 + e^x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$$

$$\frac{d}{dx}x = 1$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^x}{1 + e^x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1 + e^x}$$

ここで、分子と分母を$e^x$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1 + e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1}$$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{e^x} \to 0$なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$$

3. 最終的な答え

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