与えられた極限を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

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\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right)

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2. 解き方の手順

まず、与えられた和を $\Sigma$ を用いて表します。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}

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次に、分母の $\sqrt{n^2}$ をくくり出すことを考えます。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(1 + (\frac{k}{n})^2)}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n \sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}}

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これは区分求積法の形なので、定積分で表すことができます。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx

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ここで、積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx$ を計算します。

$x = \sinh(t)$ と置換すると、 $dx = \cosh(t) dt$ となります。

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\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{\cosh(t)}{\sqrt{1+\sinh^2(t)}} dt = \int \frac{\cosh(t)}{\cosh(t)} dt = \int dt = t + C

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$t = \sinh^{-1}(x)$ であるので、

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\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \sinh^{-1}(x) + C = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C

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したがって、

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\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \left[ \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \right]_0^1 = \ln(1+\sqrt{2}) - \ln(0+1) = \ln(1+\sqrt{2})

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3. 最終的な答え

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\ln(1+\sqrt{2})

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