与えられた数列の極限を求める問題です。数列は以下の通りです。 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1^2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}} \right)$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。数列は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1^2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}} \right)$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず与えられた和をシグマ記号を使って表します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}$

次に、$\frac{1}{n}$ をくくり出して、リーマン和の形に近づけます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(1 + (\frac{k}{n})^2)}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき、この和は積分で表されます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}} = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$

この積分を計算します。$\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ という関係を用いると、

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \left[ \sinh^{-1}x \right]_0^1 = \sinh^{-1}(1) - \sinh^{-1}(0) = \sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{1^2 + 1}) - \ln(0 + \sqrt{0^2 + 1}) = \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\ln(1 + \sqrt{2})$