与えられた積分 $I = \int_0^\infty e^{-x} \cos x \, dx$ の値を求める問題です。部分積分を2回行うことで積分を計算し、極限を用いて最終的な値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分 $I = \int_0^\infty e^{-x} \cos x \, dx$ の値を求める問題です。部分積分を2回行うことで積分を計算し、極限を用いて最終的な値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を2回行い、$I$を求めます。

$I = \int e^{-x} \cos x \, dx$

1回目の部分積分: $u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$, $v = -e^{-x}$。

$I = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

2回目の部分積分: $u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$, $v = -e^{-x}$。

$I = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx) = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x \, dx$

$I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I$

$2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)$

$I = \frac{1}{2}e^{-x} (\sin x - \cos x)$

(2) 定積分を計算します。

$\int_0^\infty e^{-x} \cos x \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x} \cos x \, dx = \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) \right]_0^t$

$= \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{2} e^{-t} (\sin t - \cos t) - \frac{1}{2} e^{-0} (\sin 0 - \cos 0) \right]$

$= \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{2} e^{-t} (\sin t - \cos t) - \frac{1}{2} (0 - 1) \right]$

$= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} e^{-t} (\sin t - \cos t) + \frac{1}{2}$

ここで、$\lim_{t \to \infty} e^{-t} (\sin t - \cos t) = 0$ であることを示します。

$-1 \le \sin t \le 1$ および $-1 \le \cos t \le 1$ より、$-2 \le \sin t - \cos t \le 2$ なので、

$-2e^{-t} \le e^{-t} (\sin t - \cos t) \le 2e^{-t}$

$t \to \infty$ のとき $e^{-t} \to 0$ なので、挟み撃ちの原理より $\lim_{t \to \infty} e^{-t} (\sin t - \cos t) = 0$.

したがって、

$\int_0^\infty e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$