与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解することを考えますが、直接行うのは難しいです。そこで、$x^4 + 1$ を因数分解することを試みます。

$x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$

ここで、部分分数分解を

$\frac{x^2}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

とおくと、

$x^2 = (Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1) + (Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)$

$= Ax^3 - \sqrt{2}Ax^2 + Ax + Bx^2 - \sqrt{2}Bx + B + Cx^3 + \sqrt{2}Cx^2 + Cx + Dx^2 + \sqrt{2}Dx + D$

$= (A+C)x^3 + (-\sqrt{2}A + B + \sqrt{2}C + D)x^2 + (A - \sqrt{2}B + C + \sqrt{2}D)x + (B+D)$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$-\sqrt{2}A + B + \sqrt{2}C + D = 1$

$A - \sqrt{2}B + C + \sqrt{2}D = 0$

$B+D = 0$

$A = -C, B = -D$ を代入すると

$-\sqrt{2}A - B - \sqrt{2}A + B = 1$

$-2\sqrt{2}A = 1$

$A = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$C = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$A + \sqrt{2}B + C - \sqrt{2}B = 0$

$A+C = 0$ (これは既知)

$B-B=0$

$B+D = 0$ より、$D = -B$

よって、$-\sqrt{2}A+B+\sqrt{2}C-B=1$, $-2\sqrt{2}A+2B=1$。

また、$A-\sqrt{2}B+C+\sqrt{2}D=0$ より、$A-\sqrt{2}B-A-\sqrt{2}B=0$,$-2\sqrt{2}B=0$。$B=0$。

しかし、$B = 0$ とすると $-2\sqrt{2}A = 1$ より、$A=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ であり、$A - \sqrt{2}B + C + \sqrt{2}D = A+C = 0$ が成立する。

これでは、$B+D=0$ から $D=0$ となり、$-\sqrt{2}A + B + \sqrt{2}C + D = -\sqrt{2}A+\sqrt{2}C=1$ から、$-2\sqrt{2}A = 1$ なので $A = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$. $C = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

$\frac{x^2}{1+x^4} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} x}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4}dx = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$