$\alpha$ と $\beta$ がそれぞれ第1象限、第3象限の角で、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \beta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ と $\beta$ がそれぞれ第1象限、第3象限の角で、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \beta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos \alpha > 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

よって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\beta$ は第3象限の角なので、$\sin \beta < 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

よって、$\sin \beta = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ を計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{15}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{15}} = -\frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{15}}{15} = -\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{30}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - \frac{1}{\sqrt{3}} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}} + \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{(1 - 2\sqrt{2})\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{30}}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{2\sqrt{15} + \sqrt{30}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{30}}{15}$